20. yüzyılda yaşayan ünlü Alman matematikçi ve kuantum fizikçisi olan David Hilbert matematiğe yaptığı katkılarla tarihe adını yazdırmayı başarmıştır. Özellikle 1900 yılında yayınladığı 23 tane problem ile de 20. yüzyıl matematikçilerini etkisi altına almıştır. O zamanlar hiç bir problem çözülemediği halde günümüzde 10 tanesi hakkında ortak bir çözüme kavuşulmuş olup diğer 7 si hakkında çözüme ulaşılıp ulaşılamadığı hakkında tartışmalar sürerken 6 tanesi için ise hala bir çözüm yoktur. Bütün bunların yanında sonsuzluğu bize daha da yakınlaştıran bir düşüncesel deneyini sizinle paylaşmak istiyorum.
Deneyimiz sayılabilir sonsuzlukta olan sonsuz odalı bir otelin varlığıyla ve bu otelin bütün odalarının dolu olmasıyla başlıyor. Eğer buraya bir müşteri daha gelecek olursa onu otele almak için ne yapmanız gerekiyor? Cevap oldukça basit değil mi? İlk odadaki müşteriyi ikinci odaya ikiyi üçe ve böyle böyle bütün müşterileri birer kaydırırsak ilk oda boş kalacaktır. Yani n. müşteriyi n+1 numaralı odaya kaydırmış oluyoruz. Bu bize sonsuz ile doğal sayıların toplamının gene sonsuz olduğunu gösteriyor. Mesela 100 kişi gelecek olsaydı n. müşteriyi n+100 numaralı odaya yerleştirerek problemi çözecektik. Peki ya sayılabilir sayıda sonsuz müşterili bir otobüs otele gelmek isteseydi nasıl çözerdiniz? Gene cevap ortada. Her bir müşteriyi 2 katı olan odaya gönderirdiniz ve böylece diğer müşteriler için yeni odalar açılırdı. Örneğin, iki numaralı odada kalan müşteri dördüncü odaya üç numaralı odada kalan müşteri altıncı odaya kısaca n numaralı odada kalan müşteri 2n numaralı odaya gidecekti. Bu hareketimizle oteldeki sonsuz sayıdaki tek sayılı odaları boşalttık ve yeni müşterilere yer bulduk. Hadi işleri biraz daha zorlaştıralım. Eğer içinde sayılabilir sonsuzlukta olan müşteriler ile dolu olan sonsuz genişlik ve uzunlukta sonsuz tane otobüs gelseydi sizce ne yapabilirdik? Eğer yerleştiremezsek sonsuz sayıdaki müşteriden sonsuz sayıda para kaybedeceğimiz için büyük ihtimalle oteli batırırdık o yüzden yeni müşterileri yerleştirmek zorundayız. İşte kafamızın birazcık karışacağı yer burası. Fakat bize bu konunun püf noktasını M.Ö. 300 lerde yaşamış olan Euclid söylüyor: Sonsuz miktarda asal sayı vardır. Şimdi bu bilgiyi çözümümüzde kullanmaya çalışalım. Öncelikle asal sayı demek sadece kendisine ve 1 e tam bölünmek demektir. Mesela, 2,3,5,7 ve 11 gibi sayılar asal sayılara örnektir. Ve matematikte sandığınızdan çok daha büyük bir önemi vardır. Soruya dönecek olursak, ilk olarak otelde bulunan müşterileri ilk asal sayı olan 2 nin mevcut oda sayılarıyla üssünü alarak çıkan odalara yerleştiriyoruz. Şöyle ki, 7 numaralı odada kalan birisini 128 numaralı odaya yani 2 üzeri 7 numaralı oda oluyor. Böylece otelde bulunan müşterileri 2 nin bütün kuvvetlerine yerleştirmiş oluyoruz. Sonra dışarda bekleyen sonsuz müşteriye sahip sonsuz otobüslerimizden ilkindeki müşterileri ikinci asal sayı olan 3 ün mevcut koltuk sayılarıyla üssünü alarak çıkan sonuçtaki odalara gönderiyoruz. Şöyle ki, 7 numaralı koltuktaki yolcu 3 üzeri 7 numaralı odaya müşteri olarak gidiyor yani 2187 numaralı odaya. Ve böylece birinci otobüsteki yolcular 3 ün bütün kuvvetlerine yerleşmiş oluyor. İkinci otobüsteki yolcular, 5 in bütün kuvvetlerine, üçüncü otobüsteki yolcular 7 nin bütün kuvvetlerine ve böyle devam ederek sonsuz sayıdaki otobüsleri sonsuz tane asal sayının bütün kuvvetlerini kullanarak yerleştiriyoruz. Hiç bir odanın çakışmadığından eminiz çünkü asal sayıların doğal sayı kuvvetleri sadece o asal sayı ve 1 e tam bölünebiliyor. Üstüne üstlük ilerde yeni gelecek sonsuz sayıdaki müşteriler için boş odalarımız bile bulunuyor. Örneğin, 6 numaralı oda veya 26 numaralı oda gibi hiç bir asal sayının üssü olmayan odalar boş kalacak.
Bu düşünce deneyinin başarıya ulaşmasındaki en büyük sebep: sayılabilir sonsuzluktaki doğal sayılar yani sonsuzluğun ilk basamağıyla uğraşıyor olmamızdı. Eğer işin içine negative sayıları veya köklü sayıları dahil edecek olursak işin içinden çıkamayız. Ayrıca, bu kadar basit bir deneyle sonsuzluğun bize aslında o kadar da ulaşılmaz olduğunu kanıtlayan ve aynı zamanda düşünmenin insana neler katacağını gösteren Hilbert’a ne kadar teşekkür etsek azdır.
D.O.F.T. 
Yorum bırakın