D.O.F.T.

Kümeler teorisinin en önemli ve detaylarına inildikçe anlaşılmasının en zor olduğunu düşündüğüm aksiyomu seçim aksiyomudur. Öyle ki ortaya atıldığı ilk günden itibaren hala insanların ilgisini çekmekte ve hala doğruluğu sorgulanmaktadır. Seçim aksiyomunun tanımını yapacak olursak şöyledir: A boş olmayan kümelerin bir sınıfı olduğunda, A için bir seçme fonksiyonu vardır yani boş olmayan kümelerin çarpımının boş olmadığını tanımlar. Ya da başka bir tanımla her M ′ alt kümesiyle, M ′ ‘nun kendisinde meydana gelen rastgele bir m′1 öğesinin ilişkili olduğunu hayal edin; m′1, M ′’nin “ayırt edici” öğesi olarak adlandırılsın. Bu, M kümesinin belirli elemanları tarafından M kümesinin bir “örtme” g’sini(M’ yi ayırt eden her alt kümenin kardinallerini) verir. Bu kaplamaların sayısı, [tüm alt kümeler M ‘nin kardinalitelerinin] ürününe eşittir ve kesinlikle 0’dan farklıdır. Bu alıntının son cümlesi – aslında, herhangi bir (boş olmayan) kümenin boş olmayan alt kümelerinin toplanması için kaplamaların her zaman var olduğunu ileri süren – Zermelo’nun Seçim Aksiyomunun ilk formülasyonudur. Bu şimdi genellikle seçim işlevleri olarak ifade edilmektedir: burada, boş olmayan kümelerin bir H koleksiyonu üzerindeki bir seçim işlevi, her X∈H için f (X) ∈X olacak şekilde H etki alanına sahip bir f haritasıdır.

Örnek olarak: H, {0,1} ‘nin boş olmayan alt kümelerinin kombinayonu olsun, yani, H = {{0}, {1}, {0,1}}. O halde H’nin f1 ve f2 tarafından verilen iki farklı seçim işlevi vardır ve şöyledir:

f1({0})=0

f1({1})=1

f1({0,1})=0

f2({0})=0

f2({1})=1

f2({0,1})=1

Kısaca, ikinci tanımın son cümlesini özet olarak sayarsak seçim aksiyomu sayesinde sonlu veya sonsuz kümelerin f haritalarının var olduğunu ve bunların neler olabileceğini biliyoruz. Fakat, bir çok matematikçi tarafından kabul edilse de varlığı kanıtlanamadığı gibi inkar da edilemediği için diğer birçok kişi bu aksiyomu reddetmekte ve ispatlarda kullanıldığı zaman ispatın kalitesini düşürdüğünü savunmaktadır. Benim fikrime göre işin teknik kısmını geçip felsefik konumuna bakacak olursak oldukça ilginç bir fikir ortaya attığı için seçim aksiyomuna matematikte gerektiği yeri vermemiz gerekiyor.

https://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#OriChrAxiCho